Хочу предложить вашему вниманию небольшую статью выдающегося математика и педагога Дж. Пойа (1887-1985)
.
Математику можно рассматривать с различных точек зрения. Многим учащимся математика кажется собранием жёстких правил, часть из которых перед заключительными экзаменами следует выучить наизусть, и все их после этого можно позабыть. Некоторым преподавателям математика кажется системой строгих доказательств, от изложения которых в классе следует, однако, воздержаться, а вместо них изложить какой-нибудь более доступный, хотя и не имеющий силы доказательства рассказ, которого вы немножко стыдитесь. Математику, являющемуся активным исследователем, математика иногда может казаться игрой в догадки: вы должны догадаться о математической теореме, перед тем как её докажете, вы должны догадаться об идее доказательства, перед тем как проведёте его в деталях.
Философу с довольно широкими взглядами, я думаю, все разумные приобретения знаний должны иногда казаться игрой в догадки. В науке, как и в повседневной жизни, встретившись с новой ситуацией, мы начинаем с какой-нибудь догадки. Наша первая догадка может бить мимо цели, но мы испытываем её и в соответствии со степенью успеха более или менее её видоизменяем. В конечном счёте, после нескольких испытаний и нескольких видоизменений, толкаемые наблюдениями и ведомые аналогией, мы можем прийти к более удовлетворительной догадке. Неспециалист не находит удивительным, что натуралист работает таким образом. Знания натуралиста могут быть лучше упорядочены с целью отбора подходящих аналогий, его наблюдения могут быть более целеустремленны и более тщательны, он может давать своим догадкам более причудливые названия и называть их «ориентировочными обобщениями», но натуралист подобно обычному человеку приспосабливает свой ум к новой ситуации с помощью догадок. И неспециалист не удивляется, когда слышит, что натуралист подобно ему самому догадывается. Неспециалисту может казаться несколько более удивительным, что и математик также догадывается. Результат творческой работы математика — доказательное рассуждение, доказательство, но доказательство открывают с помощью правдоподобных рассуждений, с помощью догадки.
Если это так, то для догадки должно быть место и в преподавании математики. Обучение должно подготавливать к изобретению, или, по крайней мере, давать некоторое представление об изобретении. Во всяком случае, обучение не должно подавлять в учащемся ростки изобретательности. Учащийся, немного интересующийся рассматриваемой в классе задачей, ожидает решение определённого типа. Если учащийся смышлён, то он в какой-то мере предвидит решение: результат может выглядеть так-то и так-то, и есть шансы, что он может быть получен с помощью такого-то и такого-то приёма. Преподаватель должен пытаться ясно понять, что могли бы ожидать учащиеся, он должен узнать, что они на самом деле ожидают, должен указать, что они должны были бы разумно ожидать. Если учащийся менее смышлён и особенно если ему надоело, то он, вероятно, будет высказывать дикие и безответственные догадки. Преподаватель должен показать, что догадки в области математики могут быть разумными, серьёзными, ответственными. Я обращаюсь к преподавателям математики всех степеней и говорю: Давайте учить догадываться!
Я не говорю, что мы должны пренебрегать доказательствами. Наоборот, нам следует учить и доказывать и догадываться, учить обоим видам рассуждений: доказательному и правдоподобному. Для учащегося ценнее, чем любому частному математическому факту или приёму, теореме или аппарату, научиться двум следующим вещам:
Во-первых, отличать строгое доказательство от нестрогой попытки, доказательство от догадки.
Во-вторых, отличать более разумную догадку от менее разумной догадки.
Существуют частные случаи, когда важнее учить догадываться, чем доказывать. Возьмите преподавание дифференциального и интегрального исчисления студентам технических учебных заведений. Инженерам нужна математика, совсем немногие из них имеют здоровый интерес к математике, но они не приучаются понимать ε-доказательства, не имеют времени для ε-доказательств, не интересуются ε-доказательствами. Преподавать им правила дифференциального и интегрального исчисления как догму, ниспосланную свыше, было бы непедагогично. Делать вид, что ваше доказательство является полным, когда на самом деле это не так, было бы нечестно. Спокойно признайте, что ваши доказательства являются неполными, но дайте достойные правдоподобные основания для неполно доказанных результатов, пользуясь примерами и аналогией. Тогда вам не нужно будет стыдиться поддельных доказательств, и некоторые студенты смогут помнить то, чему вы их учили, и после экзаменов. На основании долгого опыта я сказал бы, что одарённым студентам технических учебных заведений обычно более доступны хорошо изложенные правдоподобные доводы, чем строгие доказательства, и студенты более благодарны таким доводам.
Я сказал, что желательно учить догадываться, но не сказал, что этому учить легко. Нет никакого абсолютно верного метода для догадок, и потому не может быть никакого абсолютно верного метода для обучения тому, как догадываться. Я мог, пожалуй, в предыдущем сказать несколько глупостей, но, надеюсь, я избежал наибольшей глупости — претензии на то, что у меня есть безошибочный метод, позволяющий учить догадываться.
Тем не менее, учить догадываться не невозможно.