Из книги известного польского математика Станислава Улама (1909-1984)
Что конкретно есть математика? Многие пытались, но никому на самом деле не удалось дать ей определение; математика — это всегда что-то ещё. Люди знают, что она, грубо говоря, имеет дело с числами и цифрами, с моделями, отношениями, операциями и что её формальные процедуры, включающие аксиомы, доказательства, леммы и теоремы не изменились со времён Архимеда. Также им известно, что математика претендует на звание основы всего рационального мышления.
Само существование математики объясняется существованием утверждений или теорем, которые очень просто сформулировать, но доказательства которых требуют страниц и страниц объяснений. Почему всё происходит именно так, не знает никто. Но простота многих таких утверждений представляет как эстетическую ценность, так и философский интерес.
На протяжении всего развития математики её эстетическая сторона представляла самое большое значение. Не так важно, насколько полезна теорема, куда важнее то, насколько она изящна. Отдать должное эстетической ценности математики со всей полнотой могут лишь немногие «нематематики» и даже учёные из других областей, но для тех, кто ею занимается, эта ценность неоспорима. Можно, однако, рассуждать и о невзрачной стороне математики. Эта невзрачность связана с тем, что в математике необходима крайняя щепетильность, уверенность в каждом сделанном шаге. В математике нельзя останавливаться, ведя большой и широкой кистью. Все детали нужно охватывать одновременно.
Математика — это язык, в котором нет места неточным и туманным высказываниям.
Сейчас решаются некоторые старые задачи, решения которых не могли найти многие годы. Эти задачи одинаково важны и в высшей степени интересны, однако некоторые из них, даже знаменитые и классические, решаются настолько по-особенному, что к этому больше просто нечего добавить! Другие, менее известные, вызывают любопытство и побуждают к дальнейшей работе, как только находишь их решение. Они словно открывают новые тропинки.
Юджин Вигнер однажды написал очень увлекательную статью о «невероятной» полезности математики под названием «Непостижимая эффективность математики» («The Unreasonable Effectiveness of Mathematics»).
Несомненно, в математике значение тренировки нашего мозга. Возможно, что с помощью математики можно будет создавать физически новые связи в мозге. Математика обладает способностью обострять ощущения, даже, несмотря на то, что быстрое увеличение 240 материала до огромных объёмов стремится загубить всё дело.
И всё же, любой алгоритм, любая форма заключает в себе некую магию. Есть в математике утверждения, например, такие как великая теорема Ферма, которые сами по себе кажутся специальными и никак не связанными с теорией чисел, как таковой. Чрезвычайно простые в формулировках, они не поддались усилиям самых великих умов, пытавшихся доказать их. Такие теоремы стимулировали в наших умах более общий интерес и любопытство. А задача Ферма, специальная ли она сама по себе или даже не нужная, стимулировала за последние три века математики создание новых до сих пор актуальных объектов математической мысли.
Кажется, что в науке, особенно в математике, существует магический интерес к определённым алгоритмам. Такие алгоритмы способны сами давать решения задач или «открывать окна» новых перспектив. И то, что в начале казалось лишь инструментом для достижения частной цели, может в итоге повлечь какие-нибудь новые неожиданные и непредсказуемые применения.
Желание вникнуть в неведомое и незнакомое различно у разных людей. Определённо, существуют разные «типы» математиков: одни предпочитают штурмовать уже существующие задачи или надстраивать что-нибудь новое на уже имеющееся старое, другие любят строить предположения о новых схемах и новых возможностях.
В прошлом всегда было несколько математиков, таких как Пуанкаре, Гильберт, Вейль, которые явным или скрытым образом подавали другим особые идеи, позволяя им выбирать направление своей деятельности. В наши дни подобное становится всё более проблематичным, если не невозможным. Вероятно, в мире нет ни одного математика, понимающего всё, что на сегодня выходит из печати.