«Проценты в прошлом и настоящем»

Валиева Галия Фахриевна,
Республика Татарстан, г. Казань,
учитель математики
МБОУ «Средняя общеобразовательная
русско-татарская школа №14»

Проценты в прошлом и настоящем.

Цели: сообщить историю появления процентов, привести примеры повседневного использования процентных вычислений в настоящие время; устранить пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины, нахождение величины по её проценту, нахождение процента одной величины от другой.
Метод обучения: лекция, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.
Форма контроля: проверка самостоятельно решённых задач.
План: 1. Лекция.
2. Устные упражнения
3. Повторение и закрепление изученного ранее.
4. Систематизация знаний.
5. Решение основных задач на проценты
6. Итоги урока.
7. Домашние задание.
Ход урока.
Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции составляет 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира и т. д.
Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это даёт возможность упрощать расчё1ты и легко сравнивать части между собой и целыми. Идея выражение частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные ими таблицы, которые позволили быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить более сложные вычисления с применением процентов.
Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Они называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат должен был установить максимально допустимый процент,взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.
В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты,но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычисления процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.
Впервые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584г. Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе – особой записи десятичных дробей.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (применяемого за единицу).
Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошёл в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.
В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные дрли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»),обозначаемые, по аналогии со знаком %. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему развитию.
Если мы говорим о предметах из некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктов питания, то процент,разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «применяется за 100 процентов».
Если речь идёт о проценте от данного числа, то это число и применяется за 100%. Например, 1% от зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это сто сотых частей зарплаты, т.е. вся зарплата. Подоходный налог от зарплаты берётся в размере 13%, т.е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60%» хлопка на этикетке означает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т.е. более чем на половину состоит из чистого хлопка. Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Если он повысился на 30%, то это уже говорит о серьёзности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятии соответствующих мер.

Вы послушали историческую справку о процентах, а сейчас вспомним 5-6 класс и устно сделаем некоторые примеры и задачи.
1. Представьте данные десятичные дроби в процентах:
0,5 0,24 0,867 0,032 15 0,01 154 20,5 10
2.Представьте проценты десятичными дробями:
2% 12,5% 2,67% 0,06% 1000% 510% 0,5% 0,1%
а сейчас вспомним основные процентные отношения и запишем в тетрадях:
100%= 1 50%= ½ 25%= 1/4 12,5% = 1/8 200%=2 10%=1/10
5%=1/20 1%=1/100
Различные обозначения:

18% 0,18 18/100
Р% 0,01р р/100

Вспомним основные действия с процентами:
1. Нахождение процентов данного числа.
Как же мы находили процент данного числа? (отвечают ученики)
Значит, чтобы найти а% от в, надо в*0,01а.
Пример. а) 30% от 60 составляет 60*0,3=18
б) сегодня в классе отсутствуют 10% учащихся. Сколько учеников отсутствуют ( в классе 20 учащихся) 20*0,1= 2(уч.)
2. Нахождение числа по его процентам.
Как находим число по его проценту?
Если известно, что а% числа х равно в, то х=в:0,01а.
Пример. а) 3% числа х составляют 150.
Х=150:0,03=5000.
б) на олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?
416:032=1300.
3. Нахождение процентного отношения чисел.
Как найти процентное отношение двух чисел?
Чтобы найти процентное отношение чисел,надо отношение этих чисел умножить на 100%.
Пример. Сколько процентов составляет 150 от 600?
150:600*100%=25%.
А сейчас рассмотрим основные типы задач на проценты.
Одна величина больше (меньше) другой на р%.
а) если а больше в на р%, то а=в+0,01рв=в(1+0,01р).
б) если а меньше в на р%, то а=в-0,01рв=в(1-0,01р).
Пример. На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120?
Решение: 120=90+90*0,01р
120=90(1+0,01р)
1+0,01р=120/90
р=100/3
Аналогично,
а) если а возросло на р%, то новое значение равно а(1+0,01р).
Пример. Увеличить число 60 на 20%.
60+60*0,2=72 или 60(1+0,2)=72.
б) если а уменьшили на р%, то новое значение равно а(1-0,01р).
Пример. Число 72 уменьшили на 20%
72-72*0,2=57,6 или 72(1-0,2)=57,6
объединив а) и б), запишем в общем виде: увеличили число а на р%, а затем полученное уменьшили на р%.
а(1+0,01р) – увеличение на р%
а(1+0,01р)а(1-0,01р)= а(1-(0,01р)2) (*)
А сейчас рассмотрим задачи, сначала сделаем по действиям, а потом применяя формулу (*).
Задача 1. Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменится цена товара?
Решение: Пусть первоначальная цена товара а, тогда:
а-0,3а=0,7а – цена товара после снижения,
0,7а+0,7а*0,3=0,91а – новая цена.
1-0,91=0,09 или 9%.
Используя формулу (*), получим: а(1-(р/100)2)=а(1-0,32)=0,91а, т.е цена снизилась на 9%.
Задача 2. цену товара повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Как изменится цена товара?
Решение: а(1-(20/100)2)=0,96а, т.е. цена снизилась на 4%.

Задачи на самостоятельное решение:

А) Найти 1)200%от 200л
2)0,3% от 0,3кг
3) 0,1% от 0,1%

Б) сколько будет, если: 1)100р увеличить на 300%
2) 40% уменьшить на40%

В) сколько было, если: 1) после увеличения на 10% стало 100р
2) после уменьшения на 10% стало 500р
Г) Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ, чтобы заработать 1000р?
Д) в магазине цены были сначала повышены на 10% , а потом снижены на 10%. Как изменились цены?
Е) каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?

Творческое задание.
Решить задачу в общем виде.
Увеличили число а на р%. На сколько процентов надо уменьшить полученное число, чтобы получить а?
Решение: а(1+р/100)-а(1+р/100)*(х/100)=а,
а(1+р/100)(1-х/100)=а,
1-х/100=100/(100+р)
х=100р/(100+р) (**)
Подведём итоги урока, что вы сегодня узнали (отвечают ученики).

Домашнее задание

Первого уровня:

1. Найти ещё исторические справки о процентах.

Задачи:
Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

Второго уровня:

Задачи:
1.Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

2.После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30% от дохода, предприниматель оставил себе на законном основании 35000 р. Какова была величина чистого дохода предпринимателя?

Третьего уровня:

1. По расчётам предпринимателя предприятие принесёт 15% прибыли. Какую прибыль можно получить, затратив 200000р?

2. Произведение двух чисел равно 10, а их сумма составляет 70% от произведения. Найти эти числа.